Álgebra lineal Ejemplos

$y^{2} - 4 x + 4 y - 4 = 0$

Paso 1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 4$ y $c = - 4 x - 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 4 x - 4))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 x - 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 4 x - 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 4 x) - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.4

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 16 x - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.5

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 16 x + 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6

Suma $16$ y $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x + 32}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.7

Factoriza $16$ de $16 x + 32$ .

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Paso 3.1.7.1

Factoriza $16$ de $16 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (x) + 32}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.7.2

Factoriza $16$ de $32$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x + 16 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.7.3

Factoriza $16$ de $16 x + 16 \cdot 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.8

Reescribe $16 (x + 2)$ como ${(2^{2})}^{2} (x + 2)$ .

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Paso 3.1.8.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.8.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x + 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.10

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x + 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x + 2}}{2}$

Paso 3.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x + 2}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x + 2}$

Paso 4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 x - 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 4 x - 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 4 x) - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 16 x - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.5

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 16 x + 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6

Suma $16$ y $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x + 32}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.7

Factoriza $16$ de $16 x + 32$ .

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Paso 4.1.7.1

Factoriza $16$ de $16 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (x) + 32}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.7.2

Factoriza $16$ de $32$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x + 16 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.7.3

Factoriza $16$ de $16 x + 16 \cdot 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.8

Reescribe $16 (x + 2)$ como ${(2^{2})}^{2} (x + 2)$ .

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Paso 4.1.8.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.8.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x + 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.10

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x + 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x + 2}}{2}$

Paso 4.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x + 2}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x + 2}$

Paso 4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = - 2 + 2 \sqrt{x + 2}$

Paso 5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 x - 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 4 x - 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 4 x) - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 16 x - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.5

Multiplica $- 4$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 16 x + 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6

Suma $16$ y $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x + 32}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.7

Factoriza $16$ de $16 x + 32$ .

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Paso 5.1.7.1

Factoriza $16$ de $16 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (x) + 32}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.7.2

Factoriza $16$ de $32$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x + 16 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.7.3

Factoriza $16$ de $16 x + 16 \cdot 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.8

Reescribe $16 (x + 2)$ como ${(2^{2})}^{2} (x + 2)$ .

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Paso 5.1.8.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.8.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x + 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.10

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x + 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x + 2}}{2}$

Paso 5.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x + 2}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x + 2}$

Paso 5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = - 2 - 2 \sqrt{x + 2}$

Paso 6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - 2 + 2 \sqrt{x + 2}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x + 2}$

Paso 7

Establece el radicando en $\sqrt{x + 2}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x + 2 \geq 0$

Paso 8

Resta $2$ de ambos lados de la desigualdad.

$x \geq - 2$

Paso 9

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- 2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq - 2}$

Paso 10